Ауа райын болжағанда жел, жаңбыр, қар, циклон мен антициклон сияқты метео құбылыстарды, физика тілімен айтсақ процестерді ескеру керек. Соның бірі жаңбырды қарастырып көрейік.
07.07.2023 күні Алматы қаласында сағат бесте жаңбыр болды. Осы күні температура шамамен мынандай еді:
| t уақыт | сағат 15:00 (t = 1) | сағат 16:00 (t = 2) | сағат 17:00 (t = 3) | сағат 18:00 (t = 4) | сағат 19:00 (t = 5) |
| y температура | +31 | +29 | +22 | +18 | +19 |
| аспандағы құбылыстар | аспан аздап бұлтты болды | аспандағы бұлттар қоюланды | жаңбыр басталды | жаңбыр жалғасты | жаңбыр тоқтады |
Осы кестедегі мәліметті пайдаланып сағат 20:00 температураны болжап көрейік. Статистика тұрғысынан мәлімет жеткіліксіз, бірақ физика тұрғысынан мәлімет жеткілікті.
Физикадан белгілі заңдарға сәйкес жаздын ыстық күні жаңбыр жауса температура төмендейді. Осыны пайдалану үшін мынандай тәуелділік жасайық:
y = at + q
Мұндағы y - Цельсий шкаласымен өлшенген температура, t - сағат 15:00 ден кейін өткен уақыт ал a - белгісіз параметр ал q метео құбылыстардың қорытқы әсері.
Осыған сәйкес мынандай теңдіктер орынды болады:
y1 = a*t1 + q1
y2 = a*t2 + q2
Және:
q1 ≥ q2
Өйткені сағат 15:00 аспан аздап бұлтты болса сағат 16:00 аспанды қара бұлттар жауып күн сәулесін жер бетіне жеткізбеді. Демек температураның төмендеуіне әкеп соқты.
q1 мен q2 жоғарыдағы теңдіктерден табайық:
q1 = y1 - a*t1
q2 = y2 - a*t2
Осы мәндерді мынаған қоямыз:
q1 ≥ q2
y1 - a*t1 ≥ y2 - a*t2
y1 - y2 ≥ a*t1 - a*t2
y1 - y2 ≥ (t1 - t2)*a
Кестедегі мәндерді қоямыз:
31 - 29 ≥ (1-2)*a
2 ≥ -a
a ≥ -2
Яғни y = at + q тәуелділік орынды болса a параметрі -2 үлкен болуы керек.
Сағат 17:00 де жаңбыр жауды. Демек q одан бетер азайды:
q2 ≥ q3
22 = 3*a + q3
29 = 2*a + q2
29 - 2a ≥ 22 - 3*a
a ≥ - 7
Байқасаныз осы температура жаңбырға дейін шамамен 30 ал одан кейін 20 градус деңгейінде болды. Экономикада осындай деңгейлер жиі кездеседі. Мысалы мұнай бағасы:
2023 жылдың маусым айында мұнай шамамен 75$ (Brent-тің бір баррелі) тұрса тамыз айына қарай 85$ өсті.
Сағат 18:00 жаңбыр жалғасып жатты. Яки q әрмен қарай азая берді:
q3 ≥ q4
22 - 3a ≥ 18 - 4a
a ≥ -4
Сағат 19:00 жаңбыр тоқтады. Демек:
q5 ≥ q4
19 - 5a ≥ 18 - 4a
1 ≥ a
Сонымен егер y = at + q тәуелділік орынды болса a параметрінің аңықталу облысы мынандай:
1 ≥ a ≥ -2
Енді ауытқулардың квадраттанырың қосындысын есептейік:
L = q12 + q22 + q32 + q42 + q52
L = (31 - a)2 + (29 - 2a)2 + (22 - 3a)2 + (18 - 4a)2 + (19 - 5a)2
L = 312 - 2*31a + a2 + 292 - 2*29a + 4a2 + 222 - 22*3a + 9a2 + 182 - 18*4a + 16a2 + 192 - 19*5a + 25a2
L = 55a2 - 644a + 2971
Ал графигін Wolframalpha.com сайтында салып көрейік:
L = 55a2 - 644a + 2971 функциясының 1≥ a ≥ -2 аралығындағы локалды, шартты минимумы a = 1 нүктесінде болады.
Демек ізделген тәуелділігіміз:
y = a*t + q = t + q
Енді q1, q2, q3, q4, q5 табайық:
q1 = y1 - ax1 = 31 - 1 = 30
q2 = y2 - ax2 = 29 - 2 = 27
q3 = y3 - ax3 = 22 - 3 = 19
q4 = y4 - ax4 = 18 - 4 = 14
q5 = y5 - ax5 = 19 - 5 = 14
y6 болжау үшін q6 білу керек. q4 = q5 = 14 және күн радиациясы бәсендей түсті. Демек q6 = q5 = 14 деп айтуға болады.
y6 = ax6 + q6 = 1*6 + 14 = 20. Іс жүзіндегі температура бұдан өзгеше. Бар жоғы бір градусқа төмен:
Енді осыны ЕККӘ есептеп көрейік:
y = ax + b + e
Сол баяғы Wolframalpha көмегімен есептейік:
Демек Ең Кіші Квадраттар Әдісімен табылған тәуелділік:
y = 34,3 - 3,5x
y6 = 34,3 - 3,5*6 = 13,3
Егер квадраттық тәуелділікті пайдалансақ дәлдігіміз артады.
Демек температура оқиғадан тәуелді функция (функционал) боп табылады. Осы факт сайттын математикалық моделдерінің негізінде жатыр. Түпкі ой осы. Тағы бір есептеу мысалы мына жерде бар - https://esepter.com/news7. Оған қоса теориясы да бар.